📈 Cómo analizar una función polinómica de tercer grado factorizada

Las funciones polinómicas de tercer grado tienen la forma general:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Cuando una función está escrita en forma factorizada, podemos analizarla con mayor facilidad. Por ejemplo:

f(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)

A partir de esta expresión podemos determinar diferentes elementos de la función: su valor en el origen, sus raíces, el coeficiente principal, su comportamiento gráfico y los intervalos donde es positiva o negativa.

🔢 1. Calcular f(0)

Para calcular f(0), simplemente sustituimos la variable x por 0 en la función.

Tomemos como ejemplo:

f(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)

Entonces:

f(0) = (0 - 1)(0 + 2)(0 - 3)

Calculamos:

f(0) = (-1)(2)(-3)

Por lo tanto:

f(0) = 6

Esto significa que la gráfica corta al eje Y en el punto:

(0, 6)

🎯 2. Encontrar las raíces

Las raíces de una función son los valores de x para los cuales:

f(x) = 0

En una función factorizada, encontrar las raíces es especialmente sencillo porque debemos igualar cada factor a cero.

Tenemos:

(x - 1)(x + 2)(x - 3) = 0

Entonces:

x - 1 = 0 → x = 1

x + 2 = 0 → x = -2

x - 3 = 0 → x = 3

Por lo tanto, las raíces son:

x₁ = -2 x₂ = 1 x₃ = 3

Estas raíces indican los puntos donde la gráfica corta al eje X:

(-2, 0)
(1, 0)
(3, 0)

🔎 3. Determinar el coeficiente principal a

El coeficiente principal es el número que multiplica al término de mayor grado.

En una función de tercer grado escrita como:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

el valor de a determina, entre otras cosas, el comportamiento de la gráfica hacia los extremos.

En nuestro ejemplo:

f(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)

Al multiplicar los términos de mayor grado:

x · x · x = x³

Por lo tanto:

a = 1

Como a > 0, la gráfica de la función de tercer grado tiene el comportamiento general de una curva que viene desde abajo a la izquierda y termina arriba a la derecha.

📊 4. Graficar la función

Una vez que conocemos las raíces y el valor de f(0), ya tenemos varios puntos importantes para construir la gráfica.

Para nuestro ejemplo:

Raíz 1: (-2, 0)
Raíz 2: (1, 0)
Raíz 3: (3, 0)
Intersección con el eje Y: (0, 6)

Como el coeficiente principal es positivo, a = 1, sabemos que:

cuando x → −∞, f(x) → −∞

cuando x → +∞, f(x) → +∞

La curva debe pasar por las raíces y por el punto correspondiente a f(0), manteniendo el comportamiento característico de una función cúbica.

➕➖ 5. Determinar los signos

También podemos determinar en qué intervalos la función es positiva y en cuáles es negativa.

Para hacerlo, utilizamos las raíces para dividir la recta real en intervalos:

(−∞, −2) (−2, 1) (1, 3) (3, +∞)

Ahora analizamos el signo de cada factor.

🔹 Intervalo (−∞, −2)

Tomamos, por ejemplo, x = -3:

(-3 - 1)(-3 + 2)(-3 - 3)

(−)(−)(−) = −

Por lo tanto, la función es negativa.

🔹 Intervalo (−2, 1)

Tomamos x = 0:

(0 - 1)(0 + 2)(0 - 3)

(−)(+)(−) = +

Por lo tanto, la función es positiva.

🔹 Intervalo (1, 3)

Tomamos x = 2:

(2 - 1)(2 + 2)(2 - 3)

(+)(+)(−) = −

Por lo tanto, la función es negativa.

🔹 Intervalo (3, +∞)

Tomamos x = 4:

(4 - 1)(4 + 2)(4 - 3)

(+)(+)(+) = +

Por lo tanto, la función es positiva.

📋 Tabla de signos

Intervalo	(−∞, −2)	−2	(−2, 1)	1	(1, 3)	3	(3, +∞)
Signo de f(x)	−	0	+	0	−	0	+

🧩 Análisis completo

Para analizar una función polinómica de tercer grado factorizada, podemos seguir siempre un orden:

Calcular f(0) para encontrar la intersección con el eje Y.
Encontrar las raíces igualando cada factor a cero.
Determinar el coeficiente principal a.
Ubicar las raíces y el punto f(0) en el plano cartesiano.
Determinar el comportamiento de la función según el signo de a.
Construir la tabla de signos utilizando las raíces para dividir la recta real en intervalos.
Graficar la curva respetando los puntos y signos obtenidos.

📌 Para recordar

f(0) indica dónde la función corta al eje Y.
Las raíces indican dónde la función corta al eje X.
El coeficiente principal a permite conocer el comportamiento de la función hacia los extremos.
Las raíces permiten dividir la recta real en intervalos para determinar los signos.
Una función de tercer grado puede tener hasta tres raíces reales.
En una función factorizada, las raíces se obtienen fácilmente igualando cada factor a cero.

🌟 En resumen

Cuando recibimos una función polinómica de tercer grado factorizada, no es necesario desarrollar inmediatamente todos los factores. La forma factorizada nos permite obtener información importante directamente.

Raíces → f(0) → coeficiente principal → signos → gráfica

Siguiendo este procedimiento podemos realizar un estudio completo de la función y representar su comportamiento en el plano cartesiano.